%	A	B	C	D	E	F	G	H	J	K	L
%	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
%第十一周习题

% 7.6. 线性变换的值域与核
% 7.7. 不变子空间
% 7.8. 若尔当标准形介绍
% 7.9. 最小多项式
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%摘要 Week L Teaching Goal 
\newcommand{\LABSA}{线性变换的值域与核}
\newcommand{\LABSAa}{计算线性变换的值域与核的基与维数。}
\newcommand{\LABSAb}{证明%有限维线性空间上的
线性变换的秩与零度的和等于维数。}

\newcommand{\LABSB}{不变子空间}
\newcommand{\LABSBa}{理解线性变换的不变子空间的概念。}
\newcommand{\LABSBb}{证明线性变换的不变子空间可以化简线性变换的矩阵。}

\newcommand{\LABSC}{若尔当标准形介绍}
\newcommand{\LABSCa}{举例说明若尔当块和若尔当形矩阵。}
\newcommand{\LABSCb}{举例说明矩阵的若尔当标准形。}

\newcommand{\LABSD}{最小多项式}
\newcommand{\LABSDa}{举例说明矩阵的最小多项式。}
%\newcommand{\LABSCb}{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 1
\newcommand{\LTA}{
（定义6）设 $\mathcal{A}$ 是线性空间 $V$ 上的一个线性变换，什么是 $\mathcal{A}$ 的值域？什么是 $\mathcal{A}$ 的核？证明线性变换的值域与核都是子空间。
}

%\item % 1a.  
\newcommand{\LTAsol}{
{\color{red}解答：

线性变换 $\mathcal{A}$ 的值域为 $\mathrm{Im}(\mathcal{A})=\{ \eta\in V \mid \exists\, \xi\in V \,\,\mathrm{ s.t.}\,  \eta=\mathcal{A}\xi \}$. 

线性变换 $\mathcal{A}$ 的核为 $\mathrm{ker}{\mathcal{A}} = \{ \xi \in V \mid \mathcal{A}\xi =0\}$. 

验证线性子空间的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 2
\newcommand{\LTB}{
（例1）设 $V=\mathbb{R}[x]_n$ 是次数小于 $n$ 的实系数多项式全体组成的线性空间。求微分 $\mathcal{D}: V\to V$ 的值域与核。
}

%\item % 2a.  
\newcommand{\LTBsol}{
{\color{red}解答：线性变换的值域与核的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 3
\newcommand{\LTC}{
（定理10）设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换。
设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是$V$的一组基。
设 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵是 $A$. 则

(1) $\mathcal{A}$ 的值域是 $L(\mathcal{A}\varepsilon_1, \mathcal{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathcal{A}\varepsilon_n)$. 

(2) $\mathcal{A}$ 的秩等于 $A$ 的秩。

}

%\item % 3a.  
\newcommand{\LTCsol}{
{\color{red}解答：根据值域的定义。基的定义。  

线性变换在一组基下的矩阵的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 4
\newcommand{\LTD}{
（定理11）设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维线性空间$V$ 上的线性变换。
设 $\eta_1,\cdots,\eta_r$ 是像空间 $\mathcal{A}(V)$ 的一组基，
设 $\mathcal{A}(\varepsilon_i)=\eta_i,1\le i\le r$. 
设 $\varepsilon_{r+1},\cdots,\varepsilon_s$ 是核空间 $\mathcal{A}^{-1}(0)$ 的一组基。
则有下述结论成立：

(1) 向量组 $\varepsilon_{1},\cdots,\varepsilon_s$ 是 $V$ 的一组基。

(2) $\mathcal{A}$ 的秩 + $\mathcal{A}$ 的零度 = $n$. 

}

%\item % 4a.  
\newcommand{\LTDsol}{
{\color{red}解答：验证线性空间的一组基的定义。  
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 5
\newcommand{\LTE}{
（推论）设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维线性空间$V$ 上的线性变换。则 
$\mathcal{A}$ 是单射等价于 $\mathcal{A}$ 是满射。
}

%\item % 5a.  
\newcommand{\LTEsol}{
{\color{red}解答：  

$\mathcal{A}$ 是单射 $\Leftrightarrow$ $\mathcal{A}$ 的零度 = $0$.

$\mathcal{A}$ 是满射 $\Leftrightarrow$ $\mathcal{A}$ 的秩 = $n$.

根据定理11，$\mathcal{A}$ 的秩 + $\mathcal{A}$ 的零度 = $n$. 
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 6
\newcommand{\LTF}{
（例2）设 $A$ 是$n$阶矩阵，且$A^2=A$. 证明 $A$ 相似于对角阵 
$$
\begin{pmatrix}
E_r&O \\
O&O_{n-r} \\
\end{pmatrix}. 
$$
%$$
%\begin{pmatrix}
%1&&&&& \\ 
%&\ddots&&&& \\ 
%&&1&&& \\ 
%&&&0&& \\ 
%&&&&\ddots& \\ 
%&&&&&0 \\ 
%\end{pmatrix}. 
%$$
}

%\item % 6a.  
\newcommand{\LTFsol}{
{\color{red}解答：从矩阵 $A$ 定义一个线性变换 $\mathcal{A}$. 

考虑值域的一组基、与核的一组基。得到全空间的一组基。  
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 7
\newcommand{\LTG}{
习题14. 设 \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4\) 是 \(V\) 的一组基，已知线性变换 \(\mathcal{A}\) 在这组基下的矩阵为
%\(
%[1, 0, 2, 1;  -1, 2, 1, 3; 1, 2, 5, 5; 2, -2, 1, -2]. 
%\)
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
-1 & 2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 5 & 5 \\
2 & -2 & 1 & -2
\end{pmatrix}.
\]
(1) 求 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\eta_1 = \varepsilon_1 - 2\varepsilon_2 + \varepsilon_4\), \(\eta_2 = 3\varepsilon_2 - \varepsilon_3 - \varepsilon_4\), \(\eta_3 = \varepsilon_3 + \varepsilon_4\), \(\eta_4 = 2\varepsilon_4\) 下的矩阵；

(2) 求 \(\mathcal{A}\) 的核与值域；

(3) 在 \(\mathcal{A}\) 的核中选一组基，把它扩充成 \(V\) 的一组基，并求 \(\mathcal{A}\) 在这组基下的矩阵；

(4) 在 \(\mathcal{A}\) 的值域中选一组基，把它扩充成 \(V\) 的一组基，并求 \(\mathcal{A}\) 在这组基下的矩阵。
}

%\item % 7a.  
\newcommand{\LTGsol}{
{\color{red}解答：  线性变换在一组基下的矩阵的定义。核与值域的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 8
\newcommand{\LTH}{
（定义7）设 $\mathcal{A}$ 是线性空间$V$上的线性变换，设 $W\subset V$ 是子空间，
如果对任意 $\xi\in W$, 有 $\mathcal{A}(\xi)\in W$, 那么称 $W$ 是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间，称为 $\mathcal{A}$-不变子空间。 
}

%\item % 8a.  
\newcommand{\LTHsol}{
{\color{red}解答：重要概念。画出示意图。  
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 9
\newcommand{\LTI}{
（例1）全空间、零空间是不变子空间。

（例2）像空间与核空间是不变子空间。

%（例3）若 $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$, 则 $\mathcal{B}$ 的核与值域都是 $\mathcal{A}$-不变子空间。

（例4）求数量变换的不变子空间。
}

%\item % 9a.  
\newcommand{\LTIsol}{
{\color{red}解答：  根据不变子空间的定义。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 10
\newcommand{\LTJ}{
（例3）设线性变换 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 可交换，即 $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$. 则核空间 $\mathrm{Ker}(\mathcal{B})$ 与像空间 $\mathrm{Im}(\mathcal{B})$都是$\mathcal{A}$-不变子空间。
}

%\item % 10a.  
\newcommand{\LTJsol}{
{\color{red}解答： 验证不变子空间的定义。 
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 11
\newcommand{\LTK}{
设 $\mathcal{A}$ 是线性空间$V$上的线性变换，设 $W\subset V$ 是一个$\mathcal{A}$-不变子空间，将 $W$ 的一组基 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_s$ 扩充成 $V$ 的一组基 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_s, \varepsilon_{s+1}, \cdots, \varepsilon_n$. 
求 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵。
}

%\item % 11a.  
\newcommand{\LTKsol}{
{\color{red}解答： 

根据线性变换在一组基下的矩阵的定义。

是一个分块上三角矩阵。 
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 12
\newcommand{\LTL}{
设 $\mathcal{A}$ 是线性空间$V$上的线性变换，
设 $W_1,W_2\subset V$ 都是$\mathcal{A}$-不变子空间，且有 $V=W_1\oplus W_2$. 
设 $\varepsilon_{11},\cdots,\varepsilon_{1n_1}$ 是 $W_1$ 的一组基。
设 $\varepsilon_{21},\cdots,\varepsilon_{2n_2}$ 是 $W_2$ 的一组基。

(1)证明 $\varepsilon_{11},\cdots,\varepsilon_{1n_1}, \varepsilon_{21},\cdots,\varepsilon_{2n_2}$ 是 $V$ 的一组基。

(2)求 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵。

}

%\item % 12a.  
\newcommand{\LTLsol}{
{\color{red}解答： (1) 验证一组基的定义。(2) 是一个分块对角矩阵。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 13
\newcommand{\LTM}{
（定理12）设 $\mathcal{A}$ 是$n$维线性空间$V$上的线性变换。
设其特征多项式可以分解成一次因式的乘积 
$f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\cdots (\lambda-\lambda_s)^{r_s},$
记 $V_i=\{\xi\in V \mid (\mathcal{A}-\lambda_i\mathcal{E})^{r_i}\xi =\theta \}$. 
（这个子空间称为 $\mathcal{A}$的属于特征值 $\lambda_i$ 的根子空间。常记为 $V^{\lambda_i}$.）
则这些 $V_i$ 都是 $\mathcal{A}$-不变子空间，且有直和
$V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_s. $
}

%\item % 13a.  
\newcommand{\LTMsol}{
{\color{red}解答：验证直和的定义。  
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 14
\newcommand{\LTN}{
习题23. 设 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4 \) 是 4 维线性空间 \( V \) 的一组基，线性变换 \( \mathcal{A} \) 在这组基下的矩阵为 $A$. 

(1) 求 \( \mathcal{A} \) 在另一组基 \(\eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4\) 下的矩阵；

(2) 求 \( \mathcal{A} \) 的特征值与特征向量；

(3) 求一可逆矩阵 \( T \)，使 \( T^{-1}AT \) 成对角形。
%{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
A = 
\begin{pmatrix}
5 & -2 & -4 & 3 \\
3 & -1 & -3 & 2 \\
-3 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2} & -\frac{5}{2} \\
-10 & 3 & 11 & -7
\end{pmatrix}, \quad 
\begin{cases}
\eta_1 = \varepsilon_1 + 2\varepsilon_2 + \varepsilon_3 + \varepsilon_4, \\
\eta_2 = 2\varepsilon_1 + 3\varepsilon_2 + \varepsilon_3, \\
\eta_3 = \varepsilon_3, \\
\eta_4 = \varepsilon_4. 
\end{cases}
\end{eqnarray*}
%}
}

%\item % 14a.  
\newcommand{\LTNsol}{
{\color{red}解答：线性变换在一组基下的矩阵的定义。
特征值与特征向量的定义。  
用线性无关的特征向量组成一组基。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 15
\newcommand{\LTO}{
习题25. 设 \( V \) 是复数域上的 \( n \) 维线性空间，\( \mathcal{A}, \mathcal{B} \) 是 \( V \) 上的线性变换，且 \( \mathcal{A} \mathcal{B} = \mathcal{B} \mathcal{A} \). 证明：

1) 如果 \( \lambda_0 \) 是 \( \mathcal{A} \) 的一特征值，那么 \( V_{\lambda_0} \) 是 \( \mathcal{B} \) 的不变子空间；

2) \( \mathcal{A}, \mathcal{B} \) 至少有一个公共的特征向量。
}

%\item % 15a.  
\newcommand{\LTOsol}{
{\color{red}解答： 验证不变子空间的定义。考虑限制在 \( V_{\lambda_0} \) 的线性变换 \( \mathcal{B} \). 
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 16
\newcommand{\LTP}{
（定义9）下述矩阵$J(\lambda,k)$的称为若尔当块，矩阵$A$称为若尔当形矩阵。举例说明。
%{\footnotesize 
$$
J(\lambda,k)=
\begin{pmatrix}
\lambda&1&\cdots&0&0 \\
0&\lambda&\cdots&0&0 \\
\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots \\
0&0&\cdots&\lambda&1 \\
0&0&\cdots&0&\lambda \\
\end{pmatrix}, 
\quad
A=
\begin{pmatrix}
J(\lambda_1,k_1)&&& \\ 
&J(\lambda_2,k_2)&& \\ 
&&\ddots& \\ 
&&&J(\lambda_1,k_s) \\ 
\end{pmatrix}.  
$$
%}
}

%\item % 16a.  
\newcommand{\LTPsol}{
{\color{red}解答：不同作者的若尔当块的定义不一样。  
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 17
\newcommand{\LTQ}{
（定理13）设$\mathcal{A}$是复数域上$n$维线性空间$V$上的一个线性变换。
则$V$存在一组基，使得$\mathcal{A}$在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵，称为$\mathcal{A}$的若尔当标准形。
}

%\item % 17a.  
\newcommand{\LTQsol}{
{\color{red}解答：  将特征多项式分解因式。对全空间进行直和分解。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 18
\newcommand{\LTR}{
设$\mathcal{A}$是$n$维线性空间$V$上的一个线性变换。
设$\mathcal{A}$是幂零的，即存在正整数$k$使得$\mathcal{A}^k$为零变换。
则$V$存在一组基，使得$\mathcal{A}$在这组基下的矩阵为下述的$A$,
%{\footnotesize 
$$
J(0,k)=
\begin{pmatrix}
0&1&\cdots&0&0 \\
0&0&\cdots&0&0 \\
\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots \\
0&0&\cdots&0&1 \\
0&0&\cdots&0&0 \\
\end{pmatrix}, 
\quad
A=
\begin{pmatrix}
J(0,k_1)&&& \\ 
&J(0,k_2)&& \\ 
&&\ddots& \\ 
&&&J(0,k_s) \\ 
\end{pmatrix}.  
$$
%}
写出4维复线性空间上的幂零线性变换的所有若尔当标准形。
}

%\item % 18a.  
\newcommand{\LTRsol}{
{\color{red}解答：对若尔当块的阶数进行讨论。  
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 19
\newcommand{\LTS}{
（定理14）设 $A$ 是$n$阶复数矩阵。则存在可逆的$n$阶复数矩阵 $P$使得 $P^{-1}AP$ 是若尔当形矩阵。
}

%\item % 19a.  
\newcommand{\LTSsol}{
{\color{red}解答：

证一：使用矩阵相似与$\lambda$-矩阵相抵的关系。

证二：对全空间进行直和分解。  
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 20
\newcommand{\LTT}{
习题26. 设 \( V \) 是复数域上的 \( n \) 维线性空间，而线性变换 \( \mathcal{A} \) 在基 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n \) 下的矩阵是一个若尔当块。证明：

(1) \( V \) 中包含 \( \varepsilon_1 \) 的 \( \mathcal{A} \)-子空间只有 \( V \) 自身；

(2) \( V \) 中任一非零 \( \mathcal{A} \)-子空间都包含 \( \varepsilon_n \)；

(3) \( V \) 不能分解成两个非平凡的 \( \mathcal{A} \)-子空间的直和。
}

%\item % 20a.  
\newcommand{\LTTsol}{
{\color{red}解答：根据线性变换在一组基下的矩阵的定义。  
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 21
\newcommand{\LTU}{
设 $A$ 是一个$n$阶实系数矩阵。什么是矩阵 $A$ 的最小多项式？
}

%\item % 21a.  
\newcommand{\LTUsol}{
{\color{red}解答：  
考虑集合
$$
S=\{ f(x)\in\mathbb{R}[x] \mid f(A)=O\}.
$$

(1) 因为$A$的特征多项式在这个集合中，所以$S$不是空集。

(2) 设 $f(x)\in S$, 设 $g(x)\in \mathbb{R}[x]$, 则 $f(x)g(x)\in S$.

(3) 集合$S$中的次数最低的首一多项式称为$A$的最小多项式。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 22
\newcommand{\LTV}{
（例1）设$A$是数量矩阵，求$A$的最小多项式。
}

%\item % 22a.  
\newcommand{\LTVsol}{
{\color{red}解答：$A=kE$. 特征多项式为 $(x-k)^n$. 最小多项式为 $x-k$.   
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 23
\newcommand{\LTW}{
（例2）求矩阵$A=\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$
的最小多项式。
}

%\item % 23a.  
\newcommand{\LTWsol}{
{\color{red}解答：特征多项式为 $(x-1)^3$. 测试 $(x-1)^2$.  
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 24
\newcommand{\LTX}{
（例3）求下述矩阵的最小多项式，
$$
A=\begin{pmatrix}
1&1&0&0 \\ 
0&1&0&0 \\ 
0&0&1&0 \\ 
0&0&0&2 \\ 
\end{pmatrix}, \quad
B=\begin{pmatrix}
1&1&0&0 \\ 
0&1&0&0 \\ 
0&0&2&0 \\ 
0&0&0&2 \\ 
\end{pmatrix}. 
$$
}

%\item % 24a.  
\newcommand{\LTXsol}{
{\color{red}解答：计算特征多项式，以及 $(x-1)^2(x-2)$.   
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 25
\newcommand{\LTY}{
求若尔当块$J$的最小多项式，
$$
J=\begin{pmatrix}
a&1&0&0 \\ 
0&a&1&0 \\ 
0&0&a&1 \\ 
0&0&0&a \\ 
\end{pmatrix}.
$$
}

%\item % 25a.  
\newcommand{\LTYsol}{
{\color{red}解答：直接计算可知 $(x-a)^4$. 
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 26
\newcommand{\LTZ}{
设矩阵$A_i$的最小多项式是 $g_i(x)$, $i=1,2$. 求分块对角矩阵
$$
A=\begin{pmatrix}
A_1&O \\ 
O&A_2 \\
\end{pmatrix}
$$
的最小多项式。
}

%\item % 26a.  
\newcommand{\LTZsol}{
{\color{red}解答：是 $g_1(x), g_2(x)$ 的最小公倍式。 
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 27
\newcommand{\LTZA}{
（定理15）设实数矩阵$A$的最小多项式是互素的一次因式的乘积
$$g(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_s),$$
其中$a_1,a_2,\cdots,a_s$ 是互不相同的实数。则存在可逆实数矩阵$P$使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
}

%\item % 27a.  
\newcommand{\LTZAsol}{
{\color{red}解答：记 $V_i=\mathrm{ker}(\mathcal{A}-a_i\mathcal{E})$ 为特征值 $a_i$ 的特征子空间。证明 $V$ 是 $V_i$ 的直和。
}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 28
\newcommand{\LTZB}{
习题27. 求下列矩阵的最小多项式：
\[
(1)  \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}; \quad 
(2) \begin{pmatrix}
3&-1&-3&1 \\ 
-1&3&1&-3 \\ 
3&-1&-3&1 \\ 
-1&3&1&-3 \\ 
\end{pmatrix}.
\]
}

%\item % 28a.  
\newcommand{\LTZBsol}{
{\color{red}解答：先求出矩阵的若尔当标准形。  
}
}

